第32讲：《高斯公式及其应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、高斯公式

定理：(1) 积分曲面为封闭曲面 ；

(2) 封闭积分曲面的方向全部取为外侧；

(3) 在封闭曲面围成的闭区域 上，三个函数 ，， 存在有一阶连续偏导数，则有

并且依据两类曲面积分之间的关系，也有

其中 为与积分曲面同向的法向量的方向余弦.

【注1】 应用高斯公式一定要注意三个条件：封闭性(封闭曲面)、方向性(封闭曲面的外侧)、封闭区域上的偏导连续性.

【注2】 对于不满足高斯公式的对坐标的曲面积分，也可以通过构造条件，如添加辅助面封闭曲面，去掉偏导数不连续的点的方式使得积分满足条件来执行计算. 值得注意的是，在添加辅助面后，一定要记得用最终结果减去辅助面上的积分结果；同时要注意添加的辅助面的方向，在计算时要满足高斯公式的条件.

二、用高斯公式计算曲面积分的基本步骤

使用高斯公式计算对坐标的曲面积分，或对面积的曲面积分的计算步骤：

第一步：明确被积表达式中的 ，，函数， 前面的是 ， 前面的是 ， 前面的是 ；如果有负号，记得带上负号；没有对应相应的坐标微元表达式，则对应的函数等于 .

第二步：明确三个条件：封闭性，方向性和偏导连续性；如果不满足，通过添加辅助面构造条件，使计算的积分满足三个条件.

第三步：计算三个偏导数的和，即

并计算以它为被积函数，由封闭积分曲面（分片光滑的曲面构成的封闭曲面）所围立体区域上的三重积分. 称 为向量场 的散度.

第四步：如果积分正好满足高斯公式的条件，则三重积分即为所求结果；否则，需要考虑积分曲面的方向和计算添加的辅助面上的积分，并借助积分对积分曲面的可加性和积分曲面的方向对积分的计算的影响，计算得到最终需要的积分结果.

【注1】 使用高斯公式的目标是提升计算的有效性，如果发现由三个偏导数的和构成的被积函数的三重积分不好计算，甚至根本无法计算，则该过程为无效过程，对于需要计算的曲面积分应该考虑其它方法执行计算，比如尝试使用直接计算法、转换为另一种形式的曲面积分来完成计算，或者基于元素法将曲面积分模型转换为其他积分模型执行计算. 具体应用实例参见下面列出的课件.

【注2】 一般借助于高斯公式计算对坐标的曲面积分，同样也可以用于计算对面积的曲面积分，另外，也可以通过构造合适的 函数，用曲面积分来计算三重积分. 对于这里提出的两个注中给出的思路与方法的分析与典型例题求解、验证思路的探索可以参考专题教学视频：在线课程.

三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件(积分与曲面无关)

1、连通区域的类型

设有空间区域 ，若 内任一闭曲面所围成的区域全属于 ， 则称 为空间二维单连通域；若 内任一闭曲线总可以张一片全属于 的曲面，则称 为空间一维单连通域.

2、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件

定理：设 , , 在空间二维单连通域 内具有连续一阶偏导数， 为 内任一闭曲面，则

的充要条件是

【注】 类似可以得到积分与曲面无关的结论，即对于同一边界曲线的两个曲面上的积分相等. 即无源场中的曲面积分在满足定理条件下积分与曲面无关.

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“曲线积分与曲面积分内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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